全文转载自知乎：拓扑场论和二维量子引力 – 知乎 (zhihu.com)

1. 引言

过去几年见证了量子场论技术在研究各种数学问题上丰硕的应用。这个主要归功于Edward Witten的项目，已经找到了量子场论和拓扑与几何量间意想不到的关联。这点的精彩范例是，三维规范理论和二维共形场论中出现了像Jones多项式这样的纽结不变量^[1]。直到最近，这些发展也主要是带给我们，要么是新的数学上的不变量，要么是对从量子场论的直觉得到的结果的更好理解。用在这些构造中的量子场论，虽然是更物理的场论的近亲，但没有直接的物理应用。

随着对矩阵模型和一般的二维量子引力的研究，意想不到的转机出现了。一个称为拓扑引力^[2]的特殊场论，最初被构造来处理Riemann面模空间的问题，被证明与二维量子引力有密不可分的关联。可将它看成引力的另一个更简单的相，其中关联函数更容易计算。借助矩阵模型在二维引力中取得重大突破^[3]后不久，Witten指出量子引力可能不过是拓扑引力的简单微扰^[4]。这点现在已经有了坚实的证据，提供了从拓扑引力开始得到所有矩阵模型结果的相当直接的方法^{[4][5][6][7][8][9]}。拓扑引力有个推广，称为拓扑弦论，其中引力与各种物质系统耦合^[4]。拓扑弦论可用于描述和解与引力耦合的所有  极小模型，以及很多其它理论^{[10][11][12][13]}。

这份讲义旨在对一般的拓扑场论，特别是拓扑引力进行初步介绍。我们的最终目标，是建立起与矩阵模型结果的关联，特别是可积的KdV型层次结构^[14][15]的出现。不过，最后一节才会涉及这点。沿途我们将讨论几何，代数和量子场论间诸多优美的关联。

这份讲义中，描述与E. 和H. Verlinde，以及与E. Witten合作的工作的部分，将基本照着同一主题其它已出版的讲义^[16]，但有些地方可能更加友好。这份讲义会和在冬季学校讲的四节课高度一致，也是依此来组织的。在第2节，我们讨论拓扑场论的一些一般性质。我们强调因子化的概念，并应用于二维情形。在第3节，我们考虑拓扑共形场论，它们与  超对称模型密切相关，并为上节的抽象讨论提供一些例子。拓扑引力放在第4节，那里我们还将用递归关系讨论它的解。最后，在第5节，我们讨论与矩阵模型和可积KdV层次结构的关联。