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Clifford代数

和Clifford代数联系紧密的是四元数  ，它是  上的4维线性空间，在四元数的乘法下成为代数。取一组基  ，那么四元数的乘法按  定义。四元数和  群有紧密联系。通常，由Pauli矩阵  ，  和  ，可以取  为Lie代数  的一组基。从而  中的元素都可以写成  ，其中  ，  ，  且  。易验证  是单位阵。应用指数映射，  的单参数子群为  ，由于矩阵Lie群可以展开为Taylor级数，所以有  ，从而  的矩阵均形如  ，其中  ，  。易看出  ，所以实际上这四个参数构成了球面  ，即  。四元数有忠实表示  。令  ， ，那么四元数  表示为  。

令  是代数，不妨将其上的二元运算看成乘法。称子代数  是左理想，若  和  使得  。若是右理想，则  。若同时是左理想和右理想，则称它是双边理想。显然，交换环上定义的交换代数本身就是交换环，所以在给定双边理想后，可以按环论中的做法，引入商环。给定交换环上的环  和其双边理想  ，定义等价关系  若  。这样可以直接记等价类为  。所有等价类的集合再次构成环，其加法按  定义，乘法按  定义。称这个环是商环，记作  。若  是代数，那么是交换环，并且商环  也是交换环，进而是代数。称代数  是因子代数。我们要指出，外代数实际上就是张量代数的因子代数。对于有限维线性空间  ，令  是只有下标的张量代数，  是所有形如  的和构成的双边理想，其中  ，  。容易验证  是双边理想，并且  。为了说明这一点，注意到商环的定义，它实际上是让理想消灭了，那么我们理应让对称形式消灭，只留下交错形式。据定义，取  ，那么  ，从而  。对于  ，有  ，若其中两个分量相同，则  ，这就表明确实只剩下了交错形式。注意到，虽然代数  和理想  都是无穷维的，但因子代数却是有限维的。