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Clifford代数

和Clifford代数联系紧密的是四元数 $\mathbb{H}$ ，它是 $\mathbb{R}$ 上的4维线性空间，在四元数的乘法下成为代数。取一组基 $\{1=e_0,e_1,e_2,e_3\}$ ，那么四元数的乘法按 $e_ie_j=-\delta_{ij}+\varepsilon_{ijk}e_k$ 定义。四元数和 $\mathrm{SU}(2)$ 群有紧密联系。通常，由Pauli矩阵 $\sigma_1=\left(\begin{matrix} 0&1\\1&0 \end{matrix}\right)$ ， $\sigma_2=\left(\begin{matrix} 0&-\mathrm{i}\\\mathrm{i}&0 \end{matrix}\right)$ 和 $\sigma_3=\left(\begin{matrix} 1&0\\0&-1 \end{matrix}\right)$ ，可以取 $e_i=-\frac{\mathrm{i}}{2}\sigma_i$ 为Lie代数 $\mathfrak{su}(2)$ 的一组基。从而 $\mathfrak{su}(2)$ 中的元素都可以写成 $-\frac{\mathrm{i}}{2}\alpha \bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ ，其中 $\alpha\in\mathbb{R}$ ， $\bm{n}\cdot\bm{\sigma}=\sum_{i=1}^3 n_i\sigma_i$ ， $\bm{n}\in\mathbb{R}^3$ 且 $|\bm{n}|=1$ 。易验证 $(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=\mathrm{diag}(1,1)=I_2$ 是单位阵。应用指数映射， $\mathrm{SU}(2)$ 的单参数子群为 $A(t)=e^{-\frac{\mathrm{i}}{2}t\alpha \bm{n}\cdot\bm{\sigma}}$ ，由于矩阵Lie群可以展开为Taylor级数，所以有 $A(t)=I_2\cos \frac{t\alpha}{2}-\mathrm{i}(\bm{n}\cdot\bm\sigma)\sin \frac{t\alpha}{2}$ ，从而 $\mathrm{SU}(2)$ 的矩阵均形如 $a_0I_2+\mathrm{i}(\bm{a}\cdot\bm\sigma)$ ，其中 $a_0=\cos \frac{t\alpha}{2}$ ， $\bm a=-\bm n\sin \frac{t\alpha}{2}$ 。易看出 $a_0^2+\bm a\cdot\bm a=\sum_{i=0}^3a_i^2=1$ ，所以实际上这四个参数构成了球面 $\mathbb{S}^3$ ，即 $\mathrm{SU}(2)\simeq\mathbb{S}^3$ 。四元数有忠实表示 $\rho:\mathbb{H}\to\mathrm{SU}(2)$ 。令 $\rho(e_i)=-\frac{1}{2}\mathrm{i}\sigma_i$ ， $\rho(e_0)=I_2$ ，那么四元数 $u=u_0+\sum_{i=1}^3u_ie_i$ 表示为 $\rho(u)=\left(\begin{matrix} u_0-\mathrm {i}u_3&-u_2-\mathrm {i}u_1\\u_2-\mathrm {i}u_1&u_0+\mathrm {i}u_3\end{matrix}\right)$ 。

令 $A$ 是代数，不妨将其上的二元运算看成乘法。称子代数 $I$ 是左理想，若 $\forall a\in A$ 和 $\forall i\in I$ 使得 $ia\in I$ 。若是右理想，则 $ai\in I$ 。若同时是左理想和右理想，则称它是双边理想。显然，交换环上定义的交换代数本身就是交换环，所以在给定双边理想后，可以按环论中的做法，引入商环。给定交换环上的环 $A$ 和其双边理想 $I$ ，定义等价关系 $a\sim b$ 若 $a-b\in I$ 。这样可以直接记等价类为 $[a]=a+I=\{a+i|i\in I\}$ 。所有等价类的集合再次构成环，其加法按 $[a]+[b]=[a+b]$ 定义，乘法按 $[a][b]=[ab]$ 定义。称这个环是商环，记作 $A/I$ 。若 $A$ 是代数，那么是交换环，并且商环 $A/I$ 也是交换环，进而是代数。称代数 $A/I$ 是因子代数。我们要指出，外代数实际上就是张量代数的因子代数。对于有限维线性空间 $V$ ，令 $T^0(V):=\bigoplus_{l=0}^\infty T_l(V)$ 是只有下标的张量代数， $I$ 是所有形如 $t_1\otimes(\alpha\otimes\alpha)\otimes t_2$ 的和构成的双边理想，其中 $t_1,t_2\in T(V)$ ， $\alpha\in V^*$ 。容易验证 $I$ 是双边理想，并且 $T^0(V)/I\simeq\Lambda V^*$ 。为了说明这一点，注意到商环的定义，它实际上是让理想消灭了，那么我们理应让对称形式消灭，只留下交错形式。据定义，取 $e^a\in V^*$ ，那么 $e^a\otimes e^a\in I$ ，从而 $0=[e^a\otimes e^a]=[e^a][e^a]$ 。对于 $\alpha=\alpha_{i_1\cdots i_k}e^{i_1}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}$ ，有 $[\alpha]=\alpha_{i_1\cdots i_k}[e^{i_1}]\cdots [e^{i_k}]$ ，若其中两个分量相同，则 $[\alpha]=0$ ，这就表明确实只剩下了交错形式。注意到，虽然代数 $T^0(V)$ 和理想 $I$ 都是无穷维的，但因子代数却是有限维的。

现在令 $V$ 是实有限维线性空间， $g$ 是 $V$ 上的对称双线性型。一般，我们要求 $g$ 非退化，从而 $g$ 是度规，也就定义了 $V$ 上的内积 $(a,b):=g(a,b)$ 。令 $J_g$ 是所有形如 $t_1\otimes(\alpha\otimes\alpha-g(\alpha,\alpha))\otimes t_2$ 的和构成的 $T^0(V)$ 的双边理想， $\alpha\in V^*$ ，那么因子代数 $T^0(V)/J_g$ 是有限维的。取一组基 $\{e^i\}\subset V^*$ ，令 $g(e^i,e^j)=g^{ij}$ ，易看出因子代数满足 $[e^i][e^i]=-g^{ii}[1]$ ，若域的特征不是2（我们讨论的是 $V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的，所以显然），那么还有 $[e^i][e^j]+[e^j][e^i]=-2g^{ij}[1]$ 。称 $\mathrm{C}\ell(V,g):=T^o(V)/J_g$ 是实Clifford代数，为了简洁，一般直接记 $e^i\cdot e^i=-g^{ii}$ 。这里假设了 $V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的线性空间。对于一般的域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间 $V$ ，不存在内积的概念，所以我们用二次型 $q:V\to\mathbb{K}$ 来替代， $g(a,b):={1\over2}(q(a+b)-q(a)-q(b))$ 是二次型的极化，可用作 $g$ 的定义，当 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 时易验证这个 $g$ 是内积。此时Clifford代数记作 $\mathrm{C}\ell(V,q)$ ，具有性质 $e^ie^i=-q(e^i)$ 或 $e^ie^j+e^je^i=-2q(e^i,e^j)$ 。下面均以 $q$ 和 $g$ 来暗示线性空间的域是否为实数。

令 $\mathrm{C}\ell^k(V,q)$ 是全体形如 $e^{i_1}\cdots e^{i_k}$ 构成的子代数，其中 $i_1<\cdots<i_k$ ，那么 $\mathrm{C}\ell(V,q)=\bigoplus_{k=0}^n\mathrm{C}\ell^k(V,q)$ ，其中 $n=\mathrm{dim}V$ 。从而和外代数一样，Clifford代数也是 $2^n$ 维的。除此之外，和外代数一样， $\mathrm{C}\ell^0(V,q)\simeq\mathbb{K}$ ， $\mathrm{C}\ell^1(V,q)\simeq V^*$ 。甚至，我们可以证明，作为线性空间，Clifford代数与外代数同构（但作为代数，没有这个同构）。

由于理想 $J_g$ 的特性， $\mathrm{C}\ell(V,q)$ 不能是 $\mathbb{Z}$ 分次代数，也就是说 $\mathrm{C}\ell^i(V,q)\cdot \mathrm{C}\ell^j(V,q)\subset \mathrm{C}\ell^{i+j}(V,q)$ 不一定成立。例如， $2e^1e^2,e^2e^3\in \mathrm{C}\ell^2(V,g)$ ，但 $(2e^1e^2)(e^2e^3)=-2g^{22}e^1e^3\in \mathrm{C}\ell^2(V,g)$ 。相对的， $\mathrm{C}\ell(V,q)$ 是 $\mathbb{Z}_2$ 分次的， $\mathrm{C}\ell(V,q)=\mathrm{C}\ell^{[0]}(V,q)\oplus \mathrm{C}\ell^{[1]}(V,q)$ ，其中 $\mathrm{C}\ell^{[0]}(V,q)=\mathrm{C}\ell^0(V,q)\oplus \mathrm{C}\ell^2(V,q)\oplus\cdots$ 是偶部分， $\mathrm{C}\ell^{[1]}(V,q)=\mathrm{C}\ell^1(V,q)\oplus \mathrm{C}\ell^3(V,q)\oplus\cdots$ 是奇部分。 $\mathbb{Z}_2$ 分次说明 $\mathrm{C}\ell^{[0]}(V,q)\cdot \mathrm{C}\ell^{[0]}(V,q)\subset \mathrm{C}\ell^{[0]}(V,q)$ ， $\mathrm{C}\ell^{[0]}(V,q)\cdot \mathrm{C}\ell^{[1]}(V,q)\subset \mathrm{C}\ell^{[1]}(V,q)$ 同时 $\mathrm{C}\ell^{[1]}(V,q)\cdot\mathrm{C}\ell^{[1]}(V,q)\subset \mathrm{C}\ell^{[0]}(V,q)$ 。

具有重要地位的Clifford代数是 $g=\eta=\mathrm{diag}(\overbrace{1,\cdots,1}^{p},\overbrace{-1,\cdots,-1}^q)$ 给出的 $\mathrm{C}\ell_{p,q}(\mathbb{R}^n,\eta)$ ，其中 $n=p+q$ 。下面简记为 $\mathrm{C}\ell_{p,q}$ 。首先 $\mathrm{C}\ell_{0,0}=\mathbb{R}$ 。第一个非平凡的例子是 $\mathrm{C}\ell_{1,0}$ 。取 $V$ 的基为 $e_1$ ，那么 $\mathrm{C}\ell_{1,0}$ 中所有元素都形如 $a+be^1$ ，其中 $a,b\in\mathbb{R}$ 。据定义， $e^1e^1=-1$ ，那么不言而喻 $\mathrm{C}\ell_{1,0}\simeq\mathbb{C}$ 。完全类似地，对于 $\mathrm{C}\ell_{2,0}$ ，取 $V$ 的基为 $\{e_1,e_2\}$ ，那么 $\mathrm{C}\ell_{2,0}$ 中所有元素都形如 $a+be^1+ce^2+de^1e^2$ 。据定义， $e^1e^1=e^2e^2=-1=-e^0$ ， $e^1e^2+e^2e^1=0$ ，若令 $e^3=e^1e^2$ ，那么上三式就是四元数的乘法定义式，从而 $\mathrm{C}\ell_{2,0}\simeq\mathbb{H}$ 。剩下的三个 $p+q\leqslant2$ 的特殊情况分别是 $\mathrm{C}\ell_{0,1}\simeq\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ ， $\mathrm{C}\ell_{1,1}\simeq\mathbb{R}(2)$ ， $\mathrm{C}\ell_{0,2}\simeq\mathbb{R}(2)$ ，其中 $\mathbb{R}(n)=M_n(\mathbb{R})$ 表示以实数为矩阵元的n阶方阵。在下面还用到 $\mathbb{C}(n)$ 和 $\mathbb{H}(n)$ 。

定理 $\mathrm{C}\ell_{p,q}\otimes \mathrm{C}\ell_{2,0}\simeq \mathrm{C}\ell_{q+2,p}$ ， $\mathrm{C}\ell_{p,q}\otimes \mathrm{C}\ell_{1,1}\simeq \mathrm{C}\ell_{p+1,q+1}$ ， $\mathrm{C}\ell_{p,q}\otimes \mathrm{C}\ell_{0,2}\simeq \mathrm{C}\ell_{q,p+2}$ 。

定理给了我们从低阶慢慢搭建高阶Clifford代数的方法。相比于张量积，直和更便于理解。例如， $\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}=\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$ ， $\mathbb{H}\otimes\mathbb{C}=\mathbb{C}(2)$ ， $\mathbb{H}\otimes\mathbb{H}=\mathbb{R}(4)$ ， $\mathbb{R}(m)\otimes\mathbb{R}(n)=\mathbb{R}(mn)$ ， $\mathbb{R}(m)\otimes\mathbb{C}=\mathbb{C}(m)$ ， $\mathbb{R}(m)\otimes\mathbb{H}=\mathbb{H}(m)$ 等。后面这三个与 $\mathbb{R}(m)$ 相关的关系是重要的，因为重复应用上面的定理，就得到：

命题 $\mathrm{C}\ell_{p+8,0}=\mathrm{C}\ell_{p,0}\otimes\mathbb{R}(16)$ ， $\mathrm{C}\ell_{0,q+8}=\mathrm{C}\ell_{0,q}\otimes\mathbb{R}(16)$ 。

其中 $\mathbb{R}(16)=\mathrm{C}\ell_{8,0}=\mathrm{C}\ell_{0,8}$ 。我们讨论的这些张量积都是实张量积 $\otimes_\mathbb{R}$ 。据命题，在更高阶的时候， $\mathrm{C}\ell_{p,q}$ 只与 $(p-q)\mathrm{mod}8$ 有关。这个周期8与正交群的同伦群的Bott周期密切相关。下表给出了所有低阶的Clifford代数 $\mathrm{C}\ell_{p,q}$ ，

图片来源 : Spin Geometry , Lawson

所有更高阶的 $\mathrm{C}\ell_{p,q}$ 都可由此得出。

旋量群

介绍旋量群之前，首先引入双叶覆盖的概念。称纤维丛 $(E,p,X,F)$ 的全空间 $E$ 是基空间 $X$ 的覆盖空间，若纤维 $F$ 是某个离散集。这相当于说任意 $x\in X$ ，存在某个邻域 $U\subset X$ ，使得 $p^{-1}(U)$ 是一些非交开集 $E_i$ 的并 $\coprod E_i$ ，并且 $E_i\simeq U$ 。称 $E_i$ 是叶(sheet)。若任意 $x$ 都只有n叶，即 $p^{-1}(U)=\coprod_{i=1}^nE_i$ ，则称这是n叶覆盖，其纤维与 $\mathbb{Z}_n$ 同构。若 $E$ 是连通的并且是简单连通的，那么称这是万有覆盖。一个很奇特的性质是，若 $(G,f,\tilde G,F)$ 是Lie群的Lie群覆盖， $f$ 是Lie群同态，那么 $\mathfrak{g}=\tilde{\mathfrak{g}}$ 。我们必须指出，一个最重要的例子是， $\rm{SU}(2)$ 是 $\rm{SO}(3)$ 的万有双叶覆盖。通常，取 $l_1=\left(\begin{matrix} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{matrix}\right)$ ， $l_2=\left(\begin{matrix} 0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0 \end{matrix}\right)$ 和 $l_3=\left(\begin{matrix} 0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0 \end{matrix}\right)$ 为 $\mathfrak{so}(3)$ 的一组基，从而 $\mathfrak{so}(3)$ 的矩阵能写成 $\alpha\bm n\cdot\bm l$ 的形式，其中 $\alpha\in\mathbb{R}$ ， $|\bm n|=1$ ，单参数子群为 $R(t\alpha,\bm n)=e^{t\alpha\bm n\cdot\bm l}$ 。和 $\mathrm{SU}(2)$ 一样，展开成Taylor级数得 $R_{ij}=\delta_{ij}\cos\alpha+(1-\cos\alpha)n_in_j-\varepsilon_{ijk}n_k\sin\alpha$ ，或用左群作用 $\mathrm{SO}(3)\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ 来表示，是 $R\bm x=\bm x\cos\alpha+(1-\cos\alpha)(\bm n\cdot\bm x)\bm n+(\bm n\times \bm x)\sin\alpha$ ，其中 $R=R(\alpha,\bm n)$ 。实际上单参数子群 $R(t\alpha,\bm n)\bm x$ 就是以 $\bm n$ 为转轴，把 $\bm x$ 匀角速度转动 $t\alpha$ 角，即角速度为 $\bm \omega=\alpha\bm n$ 。覆盖映射可以简单地 $f:e^{-\frac{\mathrm{i}}{2}\alpha \bm{n}\cdot\bm{\sigma}}\mapsto e^{\alpha\bm n\cdot\bm l}$ ，为了写出显式，使用左群作用 $\mathrm{SO}(3)\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ，那么 $f(A)=\psi^{-1}\circ\mathrm{Ad}_A\circ \psi$ ，其中 $A\in\mathrm{SU}(2)$ ， $\psi:\mathbb{R}^3\to H_0(2,\mathbb{C})$ 满足 $\psi(x)=\bm x\cdot\bm\sigma=\left(\begin{matrix} x_3&x_1-\mathrm{i}x_2\\x_1+\mathrm{i}x_2 &-x_3\end{matrix}\right)$ ，而 $\mathrm{Ad}_A\psi(\bm x)=A\psi(\bm x)A^{\dagger}$ ，其中 $A^\dagger$ 是 $A$ 的复共轭转置。取 $A=\lambda I_2$ ，那么直接算得 $\lambda=\pm1$ ，从而 $f$ 的核 $\mathrm{Ker}f=\{I_2,-I_2\}\simeq\mathbb{Z}_2$ ，所以根据群同态基本定理，得 $\mathrm{SO}(3)=\mathrm{SU}(2)/\mathbb{Z}_2$ 。至于 $\mathrm{SU}(2)$ 是万有覆盖，根据 $\mathrm{SU}(2)\simeq\mathbb{S}^3$ 就有。

一般环 $R$ 的乘法只是幺半群。称 $R^\times=\{r\in R|\exists r^{-1}\in R,r^{-1}r=rr^{-1}=1\}$ 是 $R$ 的可逆元群，即所有关于 $R$ 的乘法可逆的元素构成的群。考虑Clifford代数的可逆元群 $\mathrm{C}\ell^\times(V,q)$ ，它有子群 $\mathrm{Pin}(V,q)=\{v_1\cdots v_k|v_i\in \mathrm{C}\ell^1(V,q)\simeq V\}$ ，是这些乘积构成的群，并且额外要求 $q(v_i)=\pm1$ ，从而 $v_1\cdots v_k$ 的逆元是 $\pm v_k\cdots v_1$ ，正负号取决于所有的 $q(v_i)=\pm1$ 。定义 $\mathrm{Spin}(V,q)=\mathrm{Pin}(V,q)\cap \mathrm{C}\ell^{[0]}(V,q)$ 是Pin群中长度为偶数的乘积构成的子群。

对于有限维的 $(V,q)$ ，可以定义正交群 $\mathrm{O}(V,q)=\{A\in\mathrm{GL}(V)|A^*q=q\}$ ，即 $A^*q(v)=q(Av)=q(v)$ 。当 $V=\mathbb{R}^n$ 且 $q(v)=(v^1)^2+\cdots+(v^n)^2$ 时， $\mathrm{O}(V,q)=\mathrm{O}(n)$ 是普通的正交群。当 $V=\mathbb{R}^n$ 但 $g=(\eta)_{rs}$ 是伪欧度规，此时记 $\mathrm{O}(r,s):=\mathrm{O}(V,q)$ 。对应的有特殊正交群 $\mathrm{SO}(V,q)=\{A|A\in\mathrm{O}(V,q),\mathrm{det}A=1\in\mathbb{K}\}$ 和 $\mathrm{SO}(r,s)$ 。我们要指出， $\mathrm{Spin}(r,s)$ 是 $\mathrm{SO}(r,s)$ 的双叶覆盖， $\mathrm{Pin}(r,s)$ 是 $\mathrm{O}(r,s)$ 的双叶覆盖。证明的关键是利用扭共轭表示(twisted adjoint representation)。下面给出更一般的结论。

若 $G,N,Q$ 三个群使得 $1\to N\to G\to Q\to 1$ 是正合列，那么 $N$ 是 $G$ 的正规子群，且商群 $G/N$ 与 $Q$ 同构。此时称 $G$ 是 $Q$ 的扩张。称子群 $Z(G)$ 是 $G$ 的中心，若 $\forall z\in Z(G)$ 和 $\forall g\in G$ 使 $zg=gz$ 。称扩张 $1\to N\to G\to Q\to 1$ 是中心扩张若 $N\subset Z(G)$ 。

定理若 $V$ 的域是 $\mathbb{R}$ ，那么 $F=\mathbb{Z}_2\simeq\{\pm1\}$ 时；若 $V$ 的域是 $\mathbb{C}$ ，那么 $F=\mathbb{Z}_4\simeq\{\pm1,\pm\mathrm{i}\}$ 时， $1\to F\to\mathrm{Spin}(V,q)\to\mathrm{SO}(V,q)\to1$ 和 $1\to F\to\mathrm{Pin}(V,q)\to\mathrm{O}(V,q)\to1$ 是中心扩张。

可以证明Spin群和Pin群都是Lie群，从而 $F=\mathbb{Z}_2$ 就给出双叶覆盖 $1\to \mathbb{Z}_2\to\mathrm{Spin}(r,s)\to\mathrm{SO}(r,s)\to1$ 和 $1\to \mathbb{Z}_2\to\mathrm{Pin}(r,s)\to\mathrm{O}(r,s)\to1$ 。当 $r+s>2$ 时 $\mathrm{Spin}(r,s)$ 是简单连通的，从而是万有覆盖。

旋量的表示

有必要解释一下为什么要在物理中引入Clifford代数。量子力学的基础是Schrödinger方程 $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi=\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ 。考虑自由粒子， $V=0$ ， $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi=\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ 。Schrödinger方程不是相对论性的。为了使它成为相对论性方程，引入狭义相对论的能量与动量的关系 $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ ，把此式直接量子化，即把 $E$ 换成 $H$ ， $p$ 换成 $-\mathrm{i}\hbar\nabla$ ，那么 $H^2\psi=(-\hbar^2\nabla^2+m^2c^4)\psi=(\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t})^2\psi$ ，化简得 $\square\psi-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi=0$ ，其中 $\square=\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$ 是d’Alembert算子。称 $(\square-m^2)\psi=0$ 是Klein-Gordon方程，这里用了自然单位制，此时 $\square=\nabla^2-\frac{\partial^2}{\partial t^2}$ 。KG方程的一个最显著问题是它导致流密度 $J=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$ 不是正定的，从而粒子出现的概率可以是负的。这与量子力学的基本假设相悖。本质原因是，KG方程含时间的二阶偏导，我们必须要使方程仅含时间的一阶偏导。Dirac的想法很简单，令 $\square-m^2=A\circ B$ 是两个时间一阶偏导算子的复合，那么若 $B\psi=0$ ，则必有 $A(B\psi)=0$ ，从而 $\psi$ 是KG方程的解。不妨令 $A=a+m$ ， $B=a-m$ ，其中 $a^2=\square=-\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu$ ， $\eta=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ 。设 $a=\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu$ ，其中 $\gamma^\mu$ 是未知系数。令 $\partial\!\!\!/=\gamma^\mu\partial_\mu$ ，称 $(\mathrm{i}\partial\!\!\!/-m)\psi=0$ 是Dirac方程。然而事实上 $\gamma^\mu$ 不可能是数，因为显然 $\gamma^\mu\gamma^\mu=\eta^{\mu\mu}$ ，这就说明 $\gamma^\mu$ 与Clifford代数有关。

给定 $V$ 的基 $e_i$ 后，Clifford代数的表示 $\rho:\mathrm{C}\ell(V,q)\to \mathrm{Aut}(W)$ 有性质 $\rho(e^ie^j)=\rho(e^i)\rho(e^j)$ ，因为是 $\rho$ 同态。从而整个 $\mathrm{C}\ell(V,q)$ 上的表示可以归结为 $\mathrm{C}\ell^1(V,q)$ 的表示。称 $\gamma^i:=\rho(e^i)$ 是 $\gamma$ 矩阵，若 $V$ 是n维，那么就有n个 $\gamma$ 矩阵。在物理中重要的是 $\mathrm{C}\ell_{r,s}$ 的表示，尤其是Minkowski空间上的Clifford代数 $\mathrm{C}\ell_{1,3}(\mathbb{R}^4,\eta)$ 。根据第一节中的表，可知 $(r-s)\mathrm{mod} 8=0$ 或 $2$ 时 $\mathrm{C}\ell_{r,s}\simeq\mathbb{R}(l)$ 。称 $(r-s)\mathrm{mod} 8=0,2$ 时的表示 $\rho:\mathrm{C}\ell_{r,s}\to \mathrm{C}\ell_{r,s}$ 是Majorana表示。反过来，若 $(s-r)\mathrm{mod} 8=0,2$ 即 $(r-s)\mathrm{mod} 8=0,6$ 时，有纯复数的表示。典型的例子是Minkowski空间上的Clifford代数。