物理学：引力波

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描述引力波的理论与描述电动力学的电磁波的理论是类似的。

以下内容摘录自维基百科：引力波 – 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)

阅读本节需要了解电动力学和广义相对论的基本概念，可直接参阅有关书籍^[120]^[121]^[122]^[4]^[123]。

线性爱因斯坦方程

引力波——时空的波纹（示意图）

广义相对论预言下的引力波是以波形式传播的时空扰动，被形象地称为“时空涟漪”^[124]。广义相对论下的弱引力场可写作对平直时空的线性微扰：（以下采用自然单位，引力常数G和光速c都设为1）^[4]^:189-194

$g_{{\alpha \beta }}=\eta _{{\alpha \beta }}+h_{{\alpha \beta }}$ ，其中 $|h_{{\alpha \beta }}|\ll 1$

这里 $\eta _{\alpha \beta }={\text{diag}}(-1,1,1,1)$ 是平直时空的闵可夫斯基度规， $h_{{\alpha \beta }}$ 是弱引力场带来的微扰。在这个度规下计算得到的黎曼张量为

$R_{{\alpha \beta \mu \nu }}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\beta }h_{{\alpha \nu }}-\partial _{\mu }\partial _{\alpha }h_{{\beta \nu }}+\partial _{\nu }\partial _{\alpha }h_{{\beta \mu }}-\partial _{\nu }\partial _{\beta }h_{{\alpha \mu }}\right)$

爱因斯坦张量为

$G_{{\alpha \beta }}=-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {h}}_{{\alpha \beta }}+\eta _{{\alpha \beta }}\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }{\bar {h}}_{{\mu \nu }}-\partial _{\beta }\partial ^{\mu }{\bar {h}}_{{\alpha \mu }}-\partial _{\alpha }\partial ^{\mu }{\bar {h}}_{{\beta \mu }}\right)$

这里 ${\bar {h}}_{{\alpha \beta }}=h_{{\alpha \beta }}-{\frac {1}{2}}\eta _{{\alpha \beta }}h$ ， $h=\eta ^{{\alpha \beta }}h_{{\alpha \beta }}$ ， ${\bar {h}}_{{\alpha \beta }}$ 被称作迹反转度规微扰（trace-reverse metric perturbation）。

如果采用洛伦茨规范，爱因斯坦张量的后三项将为零，这里洛伦茨规范的形式为

$\partial ^{\beta }{\bar {h}}_{{\alpha \beta }}=0$

事实上总可以选择这样的规范条件，并且洛伦茨规范不是唯一的，意味着坐标在一个无穷小的线性坐标变换下仍满足洛伦茨规范，关于这一点请参考有关规范变换的内容。

在洛伦茨规范下，爱因斯坦张量为

$G_{{\alpha \beta }}=-{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {h}}_{{\alpha \beta }}=-{\frac {1}{2}}\Box ^{2}{\bar {h}}_{{\alpha \beta }}$

代入爱因斯坦引力场方程 $G_{{\alpha \beta }}=8\pi T_{{\alpha \beta }}$ ，

$\Box ^{2}{\bar {h}}_{{\alpha \beta }}=-16\pi T_{{\alpha \beta }}$

这个方程又叫弱引力场中的线性爱因斯坦方程。在远源（ $T_{{\alpha \beta }}=0$ ）的情形下，得到带有达朗贝尔算符的四维波方程：

$\Box ^{2}{\bar {h}}_{{\alpha \beta }}=0$

引力波的传播

上面波方程的一般解为如下本征函数的线性叠加：^[4]^:203-206

${\bar {h}}_{{\alpha \beta }}=A_{{\alpha \beta }}\exp {\left(i{\mathbf {k\cdot x}}\right)}$

其中 $A_{{\alpha \beta }}$ 是四维振幅， $\mathbf{k}$ 是四维波矢，满足条件

$\eta _{{\alpha \beta }}k^{{\alpha }}k^{{\beta }}=0$ ，这表明引力波传播经过的测地线是零性的，即其传播速度是光速。

四维波矢 $k^{{\alpha }}=\left(\omega _{{{\vec k}}},{\vec k}\right)$ ，其中 $\omega _{{{\vec k}}}$ 是波的角频率， ${\vec k}$ 是经典的三维波矢。由于洛伦茨规范并不唯一，此时坐标还不是完全确定的。如果再加上条件：

${\bar {h}}_{{ti}}=0$

$\eta _{{\alpha \beta }}{\bar {h}}^{{\alpha \beta }}=0$

第一个条件表示引力波张量中所有与时间t有关的分量都为零，第二个条件表示引力波张量矩阵的迹为零。因此这组规范条件叫做横向无迹规范（transverse traceless gauge），简称TT规范。在TT规范下， ${\bar {h}}_{{\alpha \beta }}=h_{{\alpha \beta }}$ 。由洛伦茨规范和TT规范共同决定下的引力波张量只有两个分量是独立的，它们实际对应着引力波的两种偏振态。对于在z方向传播的波矢 $k^{{\alpha }}=\left(\omega ,0,0,\omega \right)$ ，这两个振动分量垂直于传播方向，这表明引力波和电磁波一样是横波，其张量形式写作

$h_{{\alpha \beta }}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&h_{{+}}&h_{{\times }}&0\\0&h_{{\times }}&-h_{{+}}&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$ ，

其中 $h_{{+}}$ 和 $h_{{\times }}$ 分别为引力波的“十字型”和“交叉型”两种偏振态，上文引力波通过时的效应一节的两幅动画示意了两种偏振各自不同的振动形式。

引力波的辐射

有源的线性爱因斯坦方程解释了波源的运动如何产生引力辐射：

$\Box ^{2}{\bar {h}}^{{\alpha \beta }}=-16\pi T^{{\alpha \beta }}$

类似用泊松方程求解牛顿引力势，运用格林函数可得到带有推迟势的一般解：^[4]^:233-234^[121]^:300-307^[39]^:第4.1.1节

${\bar {h}}^{{\alpha \beta }}\left(t,{\vec x}\right)=4\int \operatorname {d}^{3}x^{\prime }{\frac {T^{{\alpha \beta }}\left(t-|{\vec x}-{\vec x}^{\prime }|,{\vec x}^{\prime }\right)}{|{\vec x}-{\vec x}^{\prime }|}}$

这里 $T^{{\alpha \beta }}$ 所处在的时间是 $t-|{\vec x}-{\vec x}^{\prime }|$ ，表示引力波从源点 ${\vec x}^{\prime }$ 传播到场点 ${\vec x}$ 经过了时间为 $|{\vec x}-{\vec x}^{\prime }|$ 的延迟。

在远场近似和长波极限下，格林函数解近似为

${\bar {h}}^{{\alpha \beta }}\left(t,{\vec x}\right)\approx {\frac {4}{r}}\int \operatorname {d}^{3}x^{\prime }T^{{\alpha \beta }}\left(t-r,{\vec x}^{\prime }\right)$

其中标量 $r=|{\vec x}-{\vec x}^{\prime }|\approx |{\vec x}|$ 是源点到场点的距离。

相对论中波源的质能守恒和动量守恒合起来写作

$T_{{,\beta }}^{{\alpha \beta }}=0$

因此动量-能量张量 $T^{{\alpha \beta }}$ 中的 $T^{{tt}}$ （质量-能量密度）和其他所有和时间t有关的分量 $T^{{it}}$ （动量密度）对时间的偏导数都为零，代入后方程的解可进一步化简为

${\bar {h}}^{{\alpha \beta }}={\frac {2}{r}}{\frac {\operatorname {d}^{2}Q^{{\alpha \beta }}\left(t-r\right)}{\operatorname {d}t^{2}}}$

这即是引力辐射的四极矩近似公式，描述了一个弱相对论系统引力辐射的最基本情形。其中 $Q^{{\alpha \beta }}$ 描述了波源的质量-能量分布

$Q^{{\alpha \beta }}=\int \rho x^{{\prime \alpha }}x^{{\prime \beta }}\operatorname {d}^{3}x^{\prime }$

这里张量 $Q^{{\alpha \beta }}$ 即是系统的质量四极矩（转动惯量张量），而 $\rho \equiv T^{{tt}}$ 是波源的质量-能量密度，积分范围是整个波源内部。

四极矩公式的物理意义是引力辐射起始于随时间二阶变化（例如谐振）的四极矩，这一点与电磁辐射不同：电磁辐射起始于随时间二阶变化的偶极矩。这一区别的来源是：一个随时间二阶变化的电偶极矩或磁偶极矩对应着电荷密度中心的振动，这一振动是随意不受限制的；而一个随时间二阶变化的质量的偶极矩对应着质心的振动，这一振动不能满足动量守恒定律，因此不存在这样对时间二阶偏导不为零的质量偶极矩。由于四极矩是偶极矩的更高阶项，这也是引力辐射要远弱于电磁辐射的原因。^[125]^:第1.2.1节

引力波的能量

四极矩近似下引力波的光度（总辐射功率）为^[4]^:239-240

$L_{{GW}}={\frac {1}{5}}\left(\sum _{{i,j}}{\frac {\operatorname {d}^{3}Q_{{ij}}}{\operatorname {d}t^{3}}}{\frac {\operatorname {d}^{3}Q_{{ij}}}{\operatorname {d}t^{3}}}-{\frac {1}{3}}\left({\frac {\operatorname {d}^{3}Q}{\operatorname {d}t^{3}}}\right)^{2}\right)$

这里Q是张量矩阵 $Q_{{ij}}$ 的迹。引力波的能量通量（单位面积的辐射功率）近似为

$F_{{GW}}\sim |{\dot h}|^{2}\sim f^{2}h^{2}$

这里f是单色引力波的频率。

思考一个地面探测器可以感测到的微弱辐射暴，其频率为1000赫兹，到达地球时的引力强度为10^-22的引力波，则其能量通量约为 $3\times 10^{{-3}}W/m^{2}$ ，这相当于满月时地球从月球接收到的电磁辐射能量通量的两倍，大约有1ms之久，这引力波源是夜间天空最亮的星体。这表明引力波实际可以携带很大的能量，但与物质相互作用力非常小，这才是引力波难以被探测的根本原因。^[40]^:第2.3节