物理学+数学：δ函数

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最近看周世勋的《量子力学》第二版教材时，对公式2.2.28与2.2.29的推导部分看不明白，翻看第一版时，更是发现它与第二版有很多出入，依然看不明白，而且我的推导总是与它差一个指数的正负。其他教材都是同样的表达结果，说明此处推导过程说的不详细，需要仔细推导。但发现这个过程需要傅里叶变换，更是需要$\delta$函数的傅里叶变换，于是有了本文的整理。

本文旨在总结δ函数相关的定义/性质，持续补充ing……

内容来自于：δ函数 – 知乎 (zhihu.com)

狄拉克 delta 函数（严谨定义） – 知乎 (zhihu.com)

Delta函数 – 知乎 (zhihu.com)

delta 函数及其性质 – 知乎 (zhihu.com)

定义 I

在最经典的表述方法下，δ函数被定义为：

$\delta(x-x_0)= \begin{cases} \infty&x=x_0\\ 0&x\ne x_0 \end{cases}\\$

且 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\text dx=1\\$

这样定义的δ函数是最简洁且最符合物理直觉的一种方法，它很自然地让人们联想到概率分布、点源以及脉冲。譬如，在三维欧氏空间中，一个点电荷分布可以被描述为 $q\delta(\bold r-\bold r_0)$ ；在电信号中，一个理想情况下的脉冲信号可以被描述为 $k\delta(t-t_0)$ 。同时，δ函数作为一个广义函数，其本身的性质由于极限性的缘故变得十分独特，如果我们顺着定义I来研究它，将得到一些有趣的数学性质。

性质 I

1.0 正交性

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						1.0 正交性

$x\delta(x)=0\\$

[证]：由定义，显然。

此条性质将被运用于计算坐标的本征函数(δ函数)的正交归一性上。

它还给出了1.0*：若存在两个函数 $f$ 与 $g$ 满足 $xf=xg$ ，则有 $f=g+c\delta(x)$

1.1 筛选性

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						1.1 筛选性

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\text dx=f(x_0)\\$

[证]：由于δ函数本身的极限性质，显然有

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\text dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}f(x)\delta(x-x_0)\text dx\\$

在很小区间 $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ 中， $f(x)$ 的值可以被 $\overline{f(x)}|_{x\in(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)}=f(x_0)$ 代替。

于是原积分

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\text dx=f(x_0)\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}\delta(x-x_0)\text dx=f(x_0)\\$

证毕#

非常直观地，δ函数的这个性质使它具备了对于任意函数的筛选功能，此性质同时也是其他性质的基础。

1.2 奇偶性

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						1.2 奇偶性

$\delta(x)=\delta(-x)\\$

[证]：设函数 $f_1(x)=\delta(x-x_1)$ ，函数 $f_2(x)=\delta(x-x_2)$ ，考虑以下积分：

$\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\text dx\\$

用两种不同的方式计算此积分，并利用性质1.1，有

$\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\text dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_1)f_2(x)\text dx=f_2(x_1)=\delta(x_1-x_2)\\$

$\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\text dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)\delta(x-x_2)\text dx=f_1(x_2)=\delta(x_2-x_1)\\$

那么显然

$\delta(x_1-x_2)=\delta(x_2-x_1)\\$

证毕#

此条性质表明δ函数是一个偶函数，这在一些涉及它的积分运算中非常有用。

1.3 伸缩性 

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						1.3 伸缩性

$\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\\$

[证]：考虑 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(ax)\text d(ax)=1$ ，以及 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\text dx=1$ ，

稍作变换并联立，有

$a\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(ax)\text dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\text dx\\$

由于δ函数非负且为偶函数，而被积函数应恒等，故显然：

$\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\\$

证毕#

此条性质也可看做奇偶性的推广(a=1)。

1.4 自身筛选性  

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						1.4 自身筛选性

本条性质是根据筛选性应用到δ函数自身而自然得出的。

它可以具体地写为：

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-a)\delta(x-b)\text dx= \begin{cases} \infty&a=b\\ 0&a\ne b \end{cases}\\$

于是，还有性质1.4*：

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x-a)\text dx=\infty\\$

1.5 延时性  

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						1.5 延时性

$\delta(x-a)*f(x)=f(x-a)\\$

[证]：考虑δ函数与 $f(x)$ 的卷积：

$\begin{align} \delta(x-a)*f(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\delta(x-a-\xi)\text d\xi\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\delta(\xi-(x-a))\text d\xi\\ &=f(x-a) \end{align}\\$

这直观地给出了延时的操作。

证毕#

而1.5*给出两个δ函数的卷积：

$\delta(x-a)*\delta(x-b)=\delta(x-(a+b))\\$

1.6 点源

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						1.6 点源

δ函数满足一类最简单的泊松方程：

$-\nabla^2\varphi=4\pi q\delta(\bold r-\bold r_0)\\$

由此得出一个矢量分析的恒等式

$\nabla·\frac{\bold r}{r^3}=-\nabla^2\frac{1}{r}=4\pi\delta(\bold r-\bold r_0)\\$

定义 II

在历史上，δ函数并不是作为一个广义函数被首先提出，而是作为在解决傅里叶变换问题时自然引出的一个辅助函数被提出。傅里叶在《热分析理论》(Théorie analytique de la chaleur)一书中，考虑了以下积分：

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\alpha f(\alpha)\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\omega\cos[\omega(x-\alpha)]\\$

此积分用现代傅里叶变换的指数语言来描述，即为：

$\begin{align} f(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\omega e^{i\omega x}\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\alpha f(\alpha)e^{-i\omega\alpha}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\text d\omega \end{align}\\$

柯西后来指出，若将积分的计算顺序改变(不影响结果)，那么将得到另外一种形式：

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega(x-\alpha)}\text d\omega]f(\alpha)\text d\alpha\\$

在这里能够清晰地看到， $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega(x-\alpha)}\text d\omega$ 作为一个特殊的函数独立出来，它正是起到「筛选」的作用(算上归一化常数)。那么，这个函数可以被定义为：

$\delta(x-\alpha)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega(x-\alpha)}\text d\omega\\$

有趣的是，若我们根据定义I计算δ函数的傅里叶变换(它显然满足绝对可积条件，而同时它又是和Dirichlet条件是自洽的，这在下文会详细讨论)，那么有：

$\mathcal{F}[\delta(x-x_0)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_0)e^{-i\omega x}\text dx=e^{-i\omega x_0}\\$

显然，当 $x_0=0$ 时， $\mathcal{F}[\delta(x)]=1$ ，即δ函数的傅里叶变换为常函数1。

于是，可以写出反傅里叶变换：

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega x}\text d\omega\\$

这和我们刚才得出的结论是完全等价/自洽的。上式便是δ函数的第二种定义。

性质 II

根据定义II，我们有能力继续探讨δ函数的其他三大性质。

2.0 辅助函数/初生δ函数

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						2.0 辅助函数/初生δ函数

δ函数定义I的两大特征给予我们一个灵感：是否存在其他的一些经典函数，它们虽然不作为广义函数，但能够在某些极限情况下自然过渡到δ函数？

在同一定义域 $(-\infty,+\infty)$ 上，我们取一个由参数 $\alpha$ 描述的函数 $f_\alpha(x)$ ，它满足以下两条类δ函数性质：

i） $f_\alpha(x)_{max}=f_\alpha(0)$
ii） $\int_{-\infty}^{+\infty}f_\alpha(x)\text dx=1$

以及过渡性质：

iii） $\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}f_\alpha(0)=\infty$

那么，我们有充足的理由相信： $\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}f_\alpha(x)=\delta(x)$

基于此，我们可以得到大量δ函数的辅助函数，以下仅作为结论给出(均易证)：

$V_\alpha(x)=\frac{\sin\alpha x}{\pi x}$ (sinc函数)

$G_\alpha(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi\alpha}}e^{-\frac{x^2}{\alpha}}$ (高斯核/热核，它由无限长细杆的热传导问题得出)

$L_\alpha(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{x^2+\alpha^2}$ (泊松核，它由半平面拉普拉斯方程问题得出)

$S_\alpha(x)=\frac{\alpha}{\pi x^2}\sin^2(\frac{x}{\alpha})$

$E_\alpha(x)=\frac{1}{2\alpha}e^{-\frac{|x|}{\alpha}}$

$I_\alpha(x)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{i\frac{\pi}{4}}e^{-i\alpha x^2}$ (此函数在极限情况下每一点都趋于δ函数)

$W_\alpha(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\alpha}^{+\alpha}e^{i\omega x}\text d\omega$
图略。

$C_\alpha(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{1-\alpha^2}{1-2\alpha\cos x+\alpha^2}$ ( $\alpha\in(0,1)$ ，此函数的定义域为 $[-\pi,\pi]$ ，因为这个定义域上它已经是归一化的了)

2.1 Dirichlet核

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						2.1 Dirichlet核

Dirichlet核将作为一个重要的δ函数的辅助函数，用来证明Dirichlet定理的充分性。

为了引入Dirichlet核，我们考虑以下求和：

$1+2\sum_{i=1}^m\cos ix\\$

利用三角恒等变形： $\sin\frac{1}{2}x\cos ix=\frac{1}{2}[\sin(i+\frac{1}{2})x+\sin(i-\frac{1}{2})x]$

裂项计算：

$\begin{align} \sin\frac{1}{2}x\sum_{i=1}^m\cos ix&=\sum_{i=1}^m\sin\frac{1}{2}x\cos ix\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m[\sin(i+\frac{1}{2})x+\sin(i-\frac{1}{2})x]\\ &=\frac{1}{2}[\sin(m+\frac{1}{2})x-\sin\frac{1}{2}x] \end{align}\\$

那么

$1+2\sum_{i=1}^m\cos ix=\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}\\$

两边同时在 $[-\pi,\pi]$ 积分，由于余弦函数是偶函数，左边求和符号内积分为0，故有：

$\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}\text dx=2\pi\\$

考虑凑成归一化形式，于是令 $D_m(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}$ ，它被称为Dirichlet内核(Dirichlet kernel)，与 $C_\alpha(x)$ 类似，它满足：

i） $\int_{-\pi}^\pi D_m(x)\text dx=1$
ii） $\lim_{m\rightarrow\infty}[\lim_{x\rightarrow0}D_m(x)]=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}(2m+1)=\infty$

故 $D_m(x)$ 为δ函数的一个辅助函数， $\lim_{m\rightarrow\infty}D_m(x)=\delta(x),\;\;\;x\in[-\pi,\pi]$ 。

我们还可以考虑另一个Dirichlet核，Diirichlet倍核，它是

$B_m(x)=2D_m(x),\;\;\;x\in[0,\pi]\\$

显然它在非对称区间 $[0,\pi]$ 上是归一化的，它的极限同样是δ函数。

利用这两个Dirichlet核，我们尝试证明Dirichlet定理的充分性。在傅里叶分析中，Dirichlet定理被表述为：

若 $f(x)$
i）在 $(-\pi,\pi)$ 内除有限点外有定义且是单值的；
ii）在 $(-\pi,\pi)$ 外是周期为 $2\pi$ 的周期函数；
iii）在 $(-\pi,\pi)$ 内分段光滑，即它和它的一阶导数 $f'(x)$ 在 $(-\pi,\pi)$ 内分段连续，
则 $f(x)$ 的傅里叶级数 $a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ 收敛于
i） $f(x)$ ，若 $x$ 为连续点；
ii） $\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$ ，若 $x$ 为第一类间断点。

我们需要考虑的是傅里叶级数收敛性在连续点和第一类间断点都是符合Dirichlet定理的，一个非常好的思路是将级数以部分和的形式带入计算，最后将求和上限的参数取极限到正无穷，可以想象，取极限的过程正是积分内δ函数的辅助函数过渡为δ函数的过程。

[证]：下面给出一种简略的证法。

首先给出傅里叶级数的部分和： $F_m(x)=a_0+\sum_{n=1}^m(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

系数分别为：

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos nt\text dt$ ； $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin nt\text dt$ ； $a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\text dt$

带入后并应用和差角公式与Dirichlet内核，有

$\begin{align} F_m(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\text dt+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^m\int_{-\pi}^\pi f(t)(\cos nt\cos nx+\sin nt\sin nx)\text dt\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)[1+2\sum_{n=1}^m\cos n(x-t)]\text dt\\ &=\int_{-\pi}^\pi f(t)D_m(x-t)\text dt \end{align}\\$

i）连续点

对于连续点，可以自然地在 $x$ 处直接取 $m\rightarrow\infty$ ，故有

$\begin{align} \lim_{m\rightarrow\infty}F_m(x)&=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_m(x-t)\text dt\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\delta(x-t)\text dt\\ &=f(x) \end{align}\\$

ii）第一类间断点

$\begin{align} F_m(x)&=\frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt]\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{0}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{0}f(x+t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt\\ &=\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt+\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt\\ &=\frac{1}{2}[\int_0^\pi f(x+t)B_m(t)\text dt+\int_0^\pi f(x-t)B_m(t)\text dt]\\ \end{align}$

通过在间断点两侧拆分积分，我们自然地引入了Dirichlet倍核，于是可以方便地在间断点处取极限：

$\lim_{m\rightarrow\infty}F_m(x)=\frac{1}{2}[\int_0^{\pi}f(x+t)\delta(t)\text dt+\int_0^{\pi}f(x-t)\delta(t)\text dt]=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\\$

证毕#

2.2 δ函数与连续谱本征函数

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						2.2 δ函数与连续谱本征函数

2.2.1 坐标算符的连续谱本征函数

坐标的本征方程： $x|x'\rangle=x'|x'\rangle$

注意到性质1.0： $x\delta(x)=0$ ，显然 $\delta(x-x')$ 满足本征方程，即

$(x-x')\delta(x-x')=0\\$

同时，本征函数δ函数满足正交归一性，即

$\langle x'|x''\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x')\delta(x-x'')\text dx=\delta(x'-x'')\\$

且满足完备性，即任意一个连续函数可按照坐标算符的本征函数集展开：

$f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x')\delta(x'-x)\text dx'\\$

在坐标表象中，几个力学量的矩阵表示为：

$\langle x'|x|x''\rangle=x'\delta(x'-x'')\\$

$\langle x'|V|x''\rangle=V(x')\delta(x'-x'')\\$

$\begin{align} \langle x'|p|x''\rangle&=\iint\text dp'\langle x'|p'\rangle\langle p'|p|p''\rangle\langle p''|x''\rangle\text dp''\\ &=\frac{1}{2\pi\hbar}\iint\text dp'e^{\frac{1p'x'}{\hbar}}p'\delta(p'-p'')e^{\frac{-ip''x''}{\hbar}}\text dp''\\ &=\frac{1}{2\pi\hbar}(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x'})\int\text dp'e^{\frac{ip'(x'-x'')}{\hbar}}\\ &=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x'}\delta(x'-x'') \end{align}\\$

2.2.2 动量算符的连续谱本征函数

动量的本征方程： $p|p'\rangle=p'|p'\rangle$

和坐标算符一样，它也满足正交归一性： $\langle p'|p''\rangle=\delta(p'-p'')$

若基于动量的一般本征函数 $\psi_p(x)=ce^{\frac{ipx}{\hbar}}$ ，根据正交归一性可以得出归一化常数为

$c=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\\$

对于动量本征函数的完备性，考虑 $f(x)$ 的傅里叶变换：

$f(x)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}F(p)e^{\frac{ipx}{\hbar}}\text dp\\$

带入 $\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}$ ，有按照动量算符的本征函数集展开的 $f(x)$ ：

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(p)\psi_p(x)\text dp\\$

而对于δ函数，它的展开即为：

$\delta(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_p(x)\text dp\\$

对于动量表象下的力学量，只需要将坐标表象下的δ函数内的坐标换为动量，将δ函数外的坐标换为 $x'\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial p'}$ 。

定义 III

δ函数被定义为阶梯函数的导函数。

阶梯函数： $\theta(x)= \begin{cases} 1&x>0\\ 0&x<0 \end{cases}$

从更广义的角度来看，对一个非连续函数在间断点处取微分，都可以得到类δ函数(局部相似)。

考虑积分：

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\theta'(x)\text dx\\$

对它进行分部积分操作：

$\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\theta'(x)\text dx&=f(x)\theta(x)|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(x)f'(x)\text dx\\ &=f(\infty)-\int_{0}^{+\infty}f'(x)\text dx\\ &=f(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x)\text dx \end{align}$

由被积函数处处相等可得到上述结论。

性质 III

由定义III，δ函数在半经典热统里有着重要的意义，它在离散的求和转化为连续的积分时通过对阶梯函数求导而出现(它与能级有关)。

在热统中， $dE$ 是宏观层面上对“无穷小”量的描述，但是在微观层面 $h$ 量级上，能级非常稠密， $dE$ 实际上包含了很多层能级。因此在求和的过程中，完全可以取相空间上的一个状态点 $\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}$ 来用积分替换状态求和。在引入态密度 $D(\varepsilon)$ 时：

$\begin{align} d\sum_{态}A(\bold p,\bold r)\Leftrightarrow D(\varepsilon)d \varepsilon&=\int_{\varepsilon\leq H<\varepsilon+d\varepsilon}\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\&=\int_{H<\varepsilon+d\varepsilon}\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3} -\int_{H<\varepsilon}\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\int\theta(\varepsilon+d\varepsilon-H)\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}-\int\theta(\varepsilon-H)\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\int\frac{d\theta(\varepsilon-H)}{d\varepsilon}d\varepsilon\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\int\delta(\varepsilon-H)d\varepsilon\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3} \end{align}\\$

利用这一点可以去尝试求一些简单的态密度函数。

例如经典情况下： $H=\frac{p^2}{2m}$

经典情况下多粒子态密度函数为：

$\begin{align} D(E)&=\frac{1}{N!h^{3N}}\int\delta(E-\frac{p^2}{2m})\text {d}^N\bold{p_i}\text {d}^N\bold {r_i}\\ &=\frac{V^N(2m)^{3N/2}}{N!h^{3N}}\int\delta(E-p'^2)\text{d}^{N}\bold{p'}\\ &=\frac{V^N(2m)^{3N/2}}{N!h^{3N}}\int\delta(E-p'^2)p'^{3N-1}\text dp'k_{3N}\\ &=\frac{V^N(2m)^{3N/2}k_{3N}}{2N!h^{3N}}\int\delta(E-p'^2)p'^{3N-2}\text d p'^2\\ &=\frac{V^N(2m)^{3N/2}k_{3N}}{2N!h^{3N}}\sqrt E^{3N-2} \end{align}\\$

其中

$k_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\\$

而在非极端相对论情况下( $H=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ )，我们需要证明δ函数的另一个性质。

1.6 复合δ函数

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						1.6 复合δ函数

对于一些只有单根的 $\psi(x)$ ，若记它的根为 $x_i$ ，满足：

i） $\psi(x_i)=0$
ii） $\psi'(x_i)\ne 0$

则

$\delta[\psi(x)]=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|\psi'(x_i)|}=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|\psi'(x)|}\\$

[证]：很显然，只有在 $\psi(x)=0$ 时，即取那些单根 $x_i$ 时， $\delta[\psi(x)]$ 才不为0，那么可以将其展开为

$\delta[\psi(x)]=\sum_ia_i\delta(x-x_i)\\$

对于展开系数 $a_i$ ，考虑积分

$\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\text dx=\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\frac{\text d\psi(x)}{\psi'(x)}\\$

利用微分中值定理，并令 $\varepsilon\rightarrow 0$ ，有：

$\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\text dx=\frac{1}{\psi'(x_j)}\int_{\psi(x_j-\varepsilon)}^{\psi(x_j+\varepsilon)}\delta[\psi(x)]\text d\psi(x)\\$

又左式可以写为：

$\begin{align} \int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\text dx&=\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\sum_ia_i\delta(x-x_i) \text dx\\ &=\sum_ia_i\delta_{ij}\\ &=a_j \end{align}\\$

再做换元 $j\rightarrow i$ ，有：

$a_i=\frac{1}{\psi'(x_i)}\int_{\psi(x_i-\varepsilon)}^{\psi(x_i+\varepsilon)}\delta[\psi(x)]\text d\psi(x)\\$

i）若 $\psi'(x_i)>0$ ，则 $\psi(x_i-\varepsilon)<\psi(x_i+\varepsilon)$

那么显然， $a_i=\frac{1}{\psi’(x_i)}$

ii）若 $\psi'(x_i)<0$ ，则 $\psi(x_i-\varepsilon)>\psi(x_i+\varepsilon)$

那么，更换积分上下限，有 $a_i=-\frac{1}{\psi'(x_i)}$

综上，展开系数 $a_i=\frac{1}{|\psi'(x_i)|}$ ，在乘上 $\delta(x-x_i)$ 并求和过程中，等价于 $\frac{1}{|\psi'(x)|}$ 。

证毕#

根据这条性质，我们有：

$\delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|x|}[\delta(x-a)+\delta(x+a)]\\$

$\delta(\sin x)=\sum_k\frac{\delta(x-k\pi)}{|\cos x|}\\$

$\delta(\cos x)=\sum_k\frac{\delta[x-(k+\frac{1}{2})\pi]}{|\sin x|}\\$

基于此，给出非极端相对论情况下的单粒子态密度函数：

$\begin{align} D(E)&=\iint\delta(E-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4})\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\frac{V}{h^3}\int\delta(E-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4})4\pi p^2\text dp&[\delta(\sqrt x-a^2)=2\sqrt x\delta(x-a^4)]\\ &=\frac{4\pi V}{h^3}\int2\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\delta(p^2c^2+m^2c^4-E^2)p^2\text dp&[\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta x]\\ &=\frac{8\pi V}{h^3}\int\sqrt{\frac{p^2}{c^2}+m^2}\delta[p^2-(\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2)]p^2\text dp&[\delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|x|}\delta(x-a),x>0]\\ &=\frac{4\pi V}{h^3}\int\delta(p-\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2})p\sqrt{\frac{p^2}{c^2}+m^2}\text dp&[f(p)=p\sqrt{\frac{p^2}{c^2}+m^2}]\\ &=\frac{4\pi V}{c^3h^3}E\sqrt{E^2-m^2c^4} \end{align}$

定义 IV

分布/测度

待补充。

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物理学+数学：δ函数

定义 I

性质 I

定义 II

性质 II

定义 III

性质 III

定义 IV

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