<二>量子力学 2.1 关于求轨道角动量分量算符Lx、Ly本征函数求法的思考 – 知乎 (zhihu.com)
我们知道，如果引入球坐标系：
，
，
，
则可将直角坐标系下的轨道角动量算符变换为：
（2.1.1），
（2.1.2），
（2.1.3），
(2.1.4)。
其中， 和
的本征方程、本征值、共同本征函数（球谐函数
）为我们所熟知。但是，注意到
和
亦均与
对易，因此我们也一定可以求出
和
、
和
的共同本征函数。本文拟在先前给定的坐标系下，讨论这两组本征函数的求解。作者所知道的有以下三种思路。前两种从波动力学的角度出发，最后一种考虑矩阵力学的方法。
思路一：直接计算
首先，我们应该明确，球谐函数 既不是
的本征函数，也不是
的本征函数，因为这两个算符均不与
对易。
显然，直接从（2.1.1）、（2.1.2）式出发，求解本征方程，一定可以得到想要的结果，但是计算过程是十分痛苦的。因此，本文不拟在本此方法上花更多笔墨。
思路二：坐标代换
事实上，轨道角动量各个方向的分量是没有区别的。因此，以 方向的轨道角动量为例，如果把
轴作为原来的
轴，其他两轴按右手系规则变换，则一定也可以求出一组球谐函数
。这时，只要找出
、
和
、
的关系即可。
不难证明：
（2.1.5），
（2.1.6），
（2.1.7），
（2.1.8）。
下面考虑一个简单的例子，求解 时
的本征函数
。
我们知道：
（2.1.9），
（2.1.10），
(2.1.11)。
只需把以上三式的两个坐标进行替换，可得：
（2.1.12），
（2.1.13），
（2.1.14）。
同样地，我们可以求出此时 的本征函数
：
（2.1.15），
（2.1.16），
（2.1.17）。
此时，问题已经基本解决。而如果细心观察，我们会发现：
（2.1.18），
（2.1.19），
（2.1.20），
（2.1.21），
（2.1.22），
（2.1.23）。
从矩阵力学的角度来看，（2.1.18-23）式本质上就是进行了两组幺正变换。这也启发我们接下来用矩阵力学的方法来求解这一问题。
思路三：利用升降算符求出 、
表象下
和
的矩阵元，进而计算本征函数
这里给出升降算符 与
的定义：
（2.1.24），
（2.1.25），
并定义 ，其中
为任意算符。
关于这两个算符，熟知的结论有：
（2.1.26），
（2.1.27），其中
和
为常数，
（2.1.28），
（2.1.29），且其余矩阵元均为0。
注意到（2.1.29）式中包含了两个算符矩阵元的相角不确定性。这是什么造成的呢？可以发现，在现有背景下，直角坐标系中的 平面是可以绕
轴任意旋转的。也就是说，最后求出的本征函数，也会因为
、
轴的选取而出现相角不确定性。事实上，思路二中求出的球谐函数本也应具有相角不确定性的，只是我们在先前求解关于
微分方程（本征方程）时已经选择了归一化系数。
不过，在初等量子力学的许多情形中，波函数的相角不确定性并不会影响结果，因而可以视情况任意选择。我们下面不妨先带着相角运算，来体会这一情况。
利用（2.1.28&29），我们令
（2.1.30），
（2.1.31）。
那么，由（2.1.24&25）可得：
（2.1.32），
（2.1.33），
（2.1.34），
（2.1.35），
其余矩阵元均为0。下面仍考虑 的简单情况。
将 简记为
，那么可知
，
,
，
，
，
，
，
。
如果令 ，
，
，
那么，对于 的本征函数，考虑本征方程
（2.1.36），
容易解出一组本征值与本征函数：
，
（2.1.37），
，
（2.1.38），
，
（2.1.39），
其中 为任意常数。显然，（2.1.37-39）的结果与前面（2.1.18-20）的结果是等价的。因为只要把（2.1.37-39）三式中的相角取0，再取适当的
进行归一化，即得（2.1.18-20）三式的结果。另一组本征函数的求解方法类似，考虑到此处篇幅已经很长，不再赘述。
小结：
至此，我们采取了波动力学和矩阵力学两种方法，从一个简单的例子出发，求除了轨道角动量分量算符 、
的本征函数。作者个人认为，矩阵力学的方法更加明确地揭示了问题的本质：1.轨道角动量三个方向分量的算符两两不对易，因而它们不可能有一组共同的本征函数集；2.轨道角动量三个方向分量的算符均与轨道角动量平方算符
对易，因而它们分别与
有一组共同的本征函数，这三组本征函数可以通过幺正变换联系在一起。有了这样的想法前提，采用矩阵力学的方法是十分自然的。同时，矩阵力学的方法在此问题中也发挥出了特有的优势：无需考虑球谐函数
的具体形式。
