转载自:算符构成的矢量的对易运算 – 知乎 (zhihu.com)
这篇文章是为了解决 @正樹 在正樹:矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算?中提出的问题,但是并没有解决这个问题,只是写了一些想法。
对易子 在矢量运算中可以直接看作为 参与运算,却并没有找到这个运算的数学意义_(:з」∠)_。
, 为两个以算符为分量的向量, , 为算符,
算符间的对易子为 ,其对应矩阵为 。
并矢 ,其对应矩阵为 。
,其对应矩阵为 。
在并矢运算中交换 , 的顺序不只交换了算符 , 的作用顺序,同时也改变了结果中元素在矩阵中的位置。也就是说, 项本应与 项做差,但对换并矢运算中两矢量顺序的结果是使 与 项做差,即 ,对应矩阵 。
由此可以看出 与 的不同。
用一个转置可以得到 ,
这样 。
注意这里的转置只变换元素 在并矢矩阵中的顺序,而不会使元素 变为对应的转置算符 .
如果 , 可以用矩阵表示,那么它们的分量形式为 , , 为态矢空间的一组基底。
可以看出这种转置是对下标 , 进行的,而不对换算符内部的指标 , ,即不会转置算符本身。
如果 这种形式如果要运用到计算中可以直接看做为 。实际上这也就是 的分量形式。