转载自：什么是纳维-斯托克斯方程？在建模仿真中有哪些应用？ – 知乎 (zhihu.com)
什么是纳维-斯托克斯方程？
纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），简称 N-S 方程。
N-S 方程是用于描述流体运动的方程，可以看作是流体运动的牛顿第二定律。对于可压缩的牛顿流体，可以得到
其中，u 是流体速度，p 是流体压力，ρ 是流体密度，μ 是流体动力黏度。式中各项分别对应于惯性力（1）、压力（2）、黏性力（3），以及作用在流体上的外力（4）。纳维-斯托克斯方程是由纳维、泊松、圣维南和斯托克斯于 1827 年到 1845 年之间推导出来的。
这些方程总是要与连续性方程同时进行求解：
纳维-斯托克斯方程表示动量守恒，而连续性方程则表示质量守恒。
纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。
示例：流经后台阶的层流
在下面的例子中，我们对一个计算域中的纳维-斯托克斯方程（以下简称“NS 方程”）和质量守恒方程进行数值求解，为此需要一组边界条件：
模型中，在入口指定了流体速度，在出口指定了压力，并指定了无滑移壁面边界条件（即，速度为零）。在层流流态和恒定边界条件下，稳态 NS（（1）中的时间相关导数设为零）和连续性方程的数值解如下：
纳维-斯托克斯方程的各种形式
根据研究的流态，我们通常可以将这些方程进行简化。在某些情况下，可能还需要附加方程。在流体动力学领域，人们常使用无因次数（例如雷诺数和马赫数）对不同的流态进行分类。
关于雷诺数和马赫数
雷诺数 Re=ρUL/μ 是惯性力（1）与黏性力（3）的比值，用于测量流体的湍流程度。低雷诺数的流动是层流，高雷诺数的流动为湍流。
马赫数 M=U/c 是流体速度 U 与该流体中声速 c 的比值，用于测量流体的压缩性。
在后台阶流动示例中，Re = 100 且 M = 0.001，表明这是一个层流，并且几乎不可压缩。对于不可压缩流，由连续性方程可得：
对于不可压缩流的情况，由于速度散度等于零，我们可以将
这一项从 NS 方程的黏性力项中去除。
在下一节，我们将研究一些特殊的流态。
低雷诺数/蠕动流
当雷诺数非常小（Re≪1）时，与黏性力（3）相比，惯性力（1）会很小，在求解 NS 方程时可以将这些力忽略。为了对这一流态进行说明，我们来看一看美国加州大学圣塔芭芭拉分校的 Arturo Keller、Maria Auset 和 Sanya Sirivithayapakorn 进行的孔隙尺度流动实验。
关于该实验
实验研究的区域大小为 640μm x 320μm。水从右向左流动，穿过整个几何体。孔隙中的水流不会渗透固体部分（上图中的灰色区域）。入口和出口的流体压力为已知条件。由于通道的最大宽度为 0.1 毫米，并且最大速度小于 m/s，因此最大雷诺数小于 0.01。因为没有外力作用（重力忽略不计），所以力项（4）也等于零。
由此可以将 NS 方程简化为：
实验建模
下图显示仿真得到的等流速线和压力场（高度）。
由于入口的压力比出口高，这就产生了压力驱动的流体流动。这些结果表明，NS 方程中的压力（2）和黏性力（3）之间存在平衡。在沿较小通道的位置，其黏性扩散的影响更加明显，从而导致压降也更大。
高雷诺数/湍流
在雷诺数非常高的工程应用中，惯性力（1）远大于黏性力（3）。这种湍流问题在本质上是瞬态的；需要使用足够精细的网格，才能求解最小涡流的大小。
使用 NS 方程计算此类问题，往往会超出当今大多数计算机和超级计算机的计算能力。因此，我们可以改用纳维-斯托克斯方程的雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）公式，对速度和压力场取时间平均值。
如此一来，我们便能够基于相对粗糙的网格以静态方式计算这些时均方程，从而大大降低此类仿真对计算能力的要求，并显著缩短计算时间（通常，二维流动需要几分钟，三维流动则需要几分钟到几天不等）。
雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）公式如下：
其中，U 和 P 分别是时均速度和压力。μT 项表示湍流黏度，即小尺度的瞬态速度波动的影响，RANS 方程不会求解这种波动。
湍流黏度 μT 通过湍流模型进行计算，最常用的是 k-ε 湍流模型（众多 RANS 湍流模型之一）。由于这个模型不仅具有较好的稳定性，还能有效节省计算资源，因此常被用于工业应用领域。该模型还求解两个附加方程：湍流动能 k 的传递和湍流耗散 ϵ。
为了进一步说明这一流态，我们来看看在一个比孔隙尺度流动大得多的几何体中的流动情况：一个典型的臭氧净化反应器。这个反应器长约 40 米，看起来像一个迷宫，其中使用部分墙壁或挡板将空间分成房间大小的多个隔间。根据入口速度和直径（本例中分别为 0.1 m/s 和 0.4 m），相应的雷诺数为 400,000。通过该模型可以求解时均速度 U、压力 P、湍流动能 k 以及湍流耗散 ϵ：
流体压缩性
流体压缩性可以通过马赫数进行测量。前面的所有例子都是弱可压缩流体，也就是说马赫数小于 0.3。
不可压缩流
当马赫数很低时，我们可以假设流体是不可压缩的。对于压缩性比气体小得多的液体来说，这通常是一个良好的近似。在这种情况下，假设密度恒定，连续性方程可以简化为 ∇⋅u=0。在蠕动流例子中，水以低速流经多孔介质，这就是一个很好的不可压缩流示例。
可压缩流
在某些情况下，流速非常大，并引起流体的密度和温度发生显著变化。当 M<0.3 时，这些变化可以忽略不计。然而，当 M>0.3 时，速度、压力和温度场之间的耦合会变得非常强，此时需要同时求解纳维-斯托克斯方程、连续性方程以及能量方程（流体传热方程）。通过能量方程，我们可以预测流体中的温度，这是计算温度相关的材料属性所需的参数。
可压缩流既可以是层流，也可以是湍流。在下一个示例中，我们来看看扩散器（一个收缩和扩散的喷嘴）中的高速湍流气流。
扩散器是一个跨音速流动环境，从这个意义上来说，尽管入口的气体是亚音速流动，但由于收缩和较低的出口压力，流动会加速并在喷嘴喉部变为音速流动（M = 1）。
以上三个绘图的结果表现出很强的相似性，证实了速度、压力和温度场之间的强耦合关系。在一小段区域的超音速流动（M > 1）之后，气流通过正激波，流速再次变回亚音速。M. Sajben 及其同事已通过大量的实验和数值仿真对这一体系进行了研究 [1-6]。
纳维-斯托克斯方程无法求解的流态
仅当系统的特征物理长度尺度远大于流体分子的平均自由程时，纳维-斯托克斯方程才成立。这种情况下的流体称为连续介质。平均自由程 λ 与特征长度尺度 L 的比值称为克努森数 Kn=λ/L。
当 Kn<0.01 时，NS 方程成立。当 0.01<Kn<0.1 时，这些方程仍然适用，但需要施加特殊的边界条件。当 Kn>0.1 时，方程不成立。例如，在环境压力为 1 atm 的情况下，空气分子的平均自由程是 68 纳米。因此，模型的特征长度应大于 6.8 μm，NS 方程才能成立。
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