今日在物理上得到的一些“小点心”

 所谓特征值与平均值，就是发散级数在取不同截断时得到的值与级数平均值的关系。

级数和积分，在收敛时是趋于同一结果，在发散时表现的才会大不相同。但是，在尺度很大的时候，这种不断的小差别，即便是收敛级数，在步长取最小值后，差别也会越来越大。这可以通过物理实验进行检验。

附：

普朗克长度：

\[\ell_p=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}\]

这项单位首先由马克斯·普朗克所提出，他希望建构出一套测量系统是依照这些自然单位来施行的。其中的基础是建在普朗克质量上。虽然量子力学和广义相对论在提出这些单位的当时尚未出现，随后得知：在普朗克长度的距离范围，重力预期开始会展现量子效应，进而要求一套量子引力理论来预测所会发生的物理事件。

另外，下面是关于普朗克质量的简单介绍：

忽略掉 \(2 Pi\) 等等的因子，普朗克质量的意义大约是一个史瓦西半径等同于康普顿波长的黑洞所带有的质量。 这黑洞的半径大约是普朗克长度。

透过思想实验阐明:

想像要测量一个物体的位置，我们得用照在其上的光所得的反射。如果对它的位置要测到很高的精确度，我们必须用更短波长的光子，如此表示这些光子的能量会更高。如果这能量高到一个程度，原则上它们撞到物体时可以产生黑洞。这个黑洞可以“吞噬掉”光子而让实验失败。通过简单的量纲分析计算可发现当测量物体位置的精准度达到普朗克长度以下，便会发生上述的问题。

这个思想实验涉及到了广义相对论与量子力学（主要指海森堡不确定原理），即是说结合了两个理论来看，我们无法对位置做出比普朗克长度还要小、还要精确的测量。因此，在任何结合广义相对论与量子力学的量子引力理论中，若在时间短于普朗克时间、距离小于普朗克长度的尺度下，我们传统上对时间、空间的标示将会全盘瓦解。

然而事实上，我们并不真正知道在我们要测量得比普朗克长度还要精准时所发生的事情，我们也从未见过普朗克质量的黑洞。所以更保守地讲，上述的思想实验仅仅显示：当我们研究尺度接近普朗克长度时，我们要小心地思考该如何结合广义相对论与量子力学，这可以说是量子引力研究者的任务。而如果因此出现了新的物理学理论，它甚至可能对比普朗克尺度还大的距离尺度下的现象做出不一样的描述。

参考了维基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E6%9C%97%E5%85%8B%E9%95%B7%E5%BA%A6

顺便测试一下本站latex的公式序号是否工作正常：

Let’s calculate the simplest black hole which is the Schwarzschild black hole. The metric of the black hole reads
\begin{equation}
ds^2=-\bigg(1-\frac{2M}{r}\bigg)dt^2+\bigg(1-\frac{2M}{r}\bigg)^{-1}dr^2+r^2d\theta+r^2\sin^2\theta d\Phi^2
\end{equation}
where M is the mass of the black hole. We can see that this metric describes a statistical black hole. We put it into Klein-Gordon equation
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^\mu}\bigg(\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\frac{\partial \phi}{\partial x^\nu}\bigg)-\frac{\mu_0 ^2 c^2}{\hbar^2}\phi=0
\end{equation}
where \(g=-r^4\sin^2\theta\) is the determinant of the metric. then we can get
\begin{equation}\label{eq:CG-LONG}
-\bigg(1-\frac{2M}{r}\bigg)^{-1}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\bigg[(r^2-2Mr)\frac{\partial \phi}{\partial r}\bigg]+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigg(\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\bigg)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial\Phi^2}=\frac{\mu_0^2}{\hbar^2}\phi
\end{equation}
We set the wave function as
\begin{equation}
\phi=e^{-i\omega t}Y_{lm}(\theta,\Phi)\psi(r)
\end{equation}
put it into \eqref{eq:CG-LONG},then we get
\begin{equation}\label{eq:jingxiangfangcheng}
\frac{d}{dr}\bigg[(r^2-2Mr)\frac{d\psi}{dr}\bigg]+\bigg[\frac{r^3\omega^2}{r-2M}-\frac{\mu_0^2}{\hbar^2}r^2-l(l+1)\bigg]\psi=0
\end{equation}
Using Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) approximation,let
\begin{equation}
\psi(r)=e^{\frac{i}{h}s(r)}\\
\end{equation}
put it into \eqref{eq:jingxiangfangcheng}, then we have
\begin{equation}
k^2=\bigg(1-\frac{2M}{r}\bigg)^{-1}\bigg[\omega^2\bigg(1-\frac{2M}{r}\bigg)^{-1}-\frac{\mu_0^2}{\hbar^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}\bigg]
\end{equation}
which is the wave vector. Here we use the semi-classical quantization condition
\begin{equation}\label{eq:semi-classical-vactor}
n\pi=\int_{r_{H}+h}^Lk(r,l,\omega)dr,n \in \mathbb{N_+}
\end{equation}